Euclidean_algorithms/eucl.py

# Обычные алгоритм Евклида:
# Основывается на утверждениях: 
# 1. gcd(a, b) = gcd(b, a % b)  -> Лемма 
# 2. gcd(b, 0) = b  -> Очевидно
def eucl_rec(a, b):
    if b == 0: 
        return a
    return eucl_rec(b, a % b)

def eucl_it(a, b):
    while a % b != 0:
        a, b = b, a % b
    return b 
###

# Расширенный алгоритм Евклида (вычисляются еще и коэф-ы линейного представления НОД)
# Для gcd любых чисел есть такие целые x, y, что a * x + b * y = gcd(a, b)
# Они тут и находятся параллельно с НОД
def ext_eucl(a, b):
    r0, r1 = a, b
    x0, y0, x1, y1 = 1, 0, 0, 1
    while r1 != 0:
        ## Вычисление коэффициентов
        q = r0 // r1
        x0, x1 = x1, x0 - q * x1 # Присваивания происходят одновременно
        y0, y1 = y1, y0 - q * y1 # Присваивания происходят одновременно
        ##
        r1, r0 = r0 % r1, r1 # НОД вычисляется на этой строчке (см. утв. из обычного алг. Евклида)
        # Инвариант который поддерживается на каждой итерации
        print(f'{x0}*{a}+{y0}*{b}={r0}')
    return x0, y0, r0

def ext_eucl_rec(a, b):
    if b == 0:
        return a, 1, 0
    gcd, x, y = ext_eucl_rec(b, a % b)
    # Поддержание инварианта x*a+y*b=gcd(a, b)
    x = y
    # Объяснение почему x = y:
    # эта рекурсивная функция (если не считать x,y) выводит нечто такое
    # ?*6+?*3=3 подставляем 0,1 => будет 0*6+1*3=3
    # ?*9+?*6=3 подставляем 1,-1 => будет 1*9+-1*6=3
    # ?*15+?*9=3 подставляем -1,2 => будет -1*15+2*9=3
    # ?*39+?*15=3 подставляем 2,-5 => будет 2*39+-5*15=3
    # Можно заметить что X следующей строки становится игриком предыдущей
    # а вот Y уже надо подбирать
    y = (gcd - x*a) // b # просто выражаем y из формулы x*a+y*b=gcd(a, b)
    print(f'{x}*{a}+{y}*{b}={gcd}')
    return gcd, x, y

def bin_eucl_rec(a, b):
    # Базовый случай
    if a == 0:
        return b
    if b == 0:
        return a
    if (a & 1) == 0 and (b & 1) == 0:  # Оба числа четные
        return bin_eucl_rec(a >> 1, b >> 1) << 1
    if (a & 1) == 0:  # a четное, b нечетное
        return bin_eucl_rec(a >> 1, b)
    if (b & 1) == 0:  # a нечетное, b четное
        return bin_eucl_rec(a, b >> 1)
    if a > b:  # Оба числа нечетные и a > b
        return bin_eucl_rec(a - b, b)
    return bin_eucl_rec(b - a, a)  # Оба числа нечетные и b > a

def ext_eucl_trunc(a, b):
    r0, r1 = a, b
    x0, y0, x1, y1 = 1, 0, 0, 1
    while r1 != 0:
        ## Вычисление коэффициентов
        q = r0 // r1
        x0, x1 = x1, x0 - q * x1 # Присваивания происходят одновременно
        y0, y1 = y1, y0 - q * y1 # Присваивания происходят одновременно
        ##
        r1, r0 = r0 % r1, r1 # НОД вычисляется на этой строчке (см. утв. из обычного алг. Евклида)

        if r1 > r0 >> 1:
            r1 = r0 - r1
            x1 = x0 - x1
            y1 = y0 - y1

        # Инвариант который поддерживается на каждой итерации
        print(f'{x0}*{a}+{y0}*{b}={r0}')
    return x0, y0, r0