From d61a06bc05217bf64d71243f7c991b5a5767667d Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: serr <sc7227484@gmail.com>
Date: Tue, 7 Jan 2025 21:50:22 +0300
Subject: [PATCH] v1

---
 eucl.py | 89 +++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++
 1 file changed, 89 insertions(+)
 create mode 100644 eucl.py

diff --git a/eucl.py b/eucl.py
new file mode 100644
index 0000000..9638802
--- /dev/null
+++ b/eucl.py
@@ -0,0 +1,89 @@
+
+# Обычные алгоритм Евклида:
+# Основывается на утверждениях: 
+# 1. gcd(a, b) = gcd(b, a % b)  -> Лемма 
+# 2. gcd(b, 0) = b  -> Очевидно
+def eucl_rec(a, b):
+    if b == 0: 
+        return a
+    return eucl_rec(b, a % b)
+
+def eucl_it(a, b):
+    while a % b != 0:
+        a, b = b, a % b
+    return b 
+###
+
+# Расширенный алгоритм Евклида (вычисляются еще и коэф-ы линейного представления НОД)
+# Для gcd любых чисел есть такие целые x, y, что a * x + b * y = gcd(a, b)
+# Они тут и находятся параллельно с НОД
+def ext_eucl(a, b):
+    r0, r1 = a, b
+    x0, y0, x1, y1 = 1, 0, 0, 1
+    while r1 != 0:
+        ## Вычисление коэффициентов
+        q = r0 // r1
+        x0, x1 = x1, x0 - q * x1 # Присваивания происходят одновременно
+        y0, y1 = y1, y0 - q * y1 # Присваивания происходят одновременно
+        ##
+        r1, r0 = r0 % r1, r1 # НОД вычисляется на этой строчке (см. утв. из обычного алг. Евклида)
+        # Инвариант который поддерживается на каждой итерации
+        print(f'{x0}*{a}+{y0}*{b}={r0}')
+    return x0, y0, r0
+
+def ext_eucl_rec(a, b):
+    if b == 0:
+        return a, 1, 0
+    gcd, x, y = ext_eucl_rec(b, a % b)
+    # Поддержание инварианта x*a+y*b=gcd(a, b)
+    x = y
+    # Объяснение почему x = y:
+    # эта рекурсивная функция (если не считать x,y) выводит нечто такое
+    # ?*6+?*3=3 подставляем 0,1 => будет 0*6+1*3=3
+    # ?*9+?*6=3 подставляем 1,-1 => будет 1*9+-1*6=3
+    # ?*15+?*9=3 подставляем -1,2 => будет -1*15+2*9=3
+    # ?*39+?*15=3 подставляем 2,-5 => будет 2*39+-5*15=3
+    # Можно заметить что X следующей строки становится игриком предыдущей
+    # а вот Y уже надо подбирать
+    y = (gcd - x*a) // b # просто выражаем y из формулы x*a+y*b=gcd(a, b)
+    print(f'{x}*{a}+{y}*{b}={gcd}')
+    return gcd, x, y
+
+def bin_eucl_rec(a, b):
+    # Базовый случай
+    if a == 0:
+        return b
+    if b == 0:
+        return a
+    if (a & 1) == 0 and (b & 1) == 0:  # Оба числа четные
+        return bin_eucl_rec(a >> 1, b >> 1) << 1
+    if (a & 1) == 0:  # a четное, b нечетное
+        return bin_eucl_rec(a >> 1, b)
+    if (b & 1) == 0:  # a нечетное, b четное
+        return bin_eucl_rec(a, b >> 1)
+    if a > b:  # Оба числа нечетные и a > b
+        return bin_eucl_rec(a - b, b)
+    return bin_eucl_rec(b - a, a)  # Оба числа нечетные и b > a
+
+def ext_eucl_trunc(a, b):
+    r0, r1 = a, b
+    x0, y0, x1, y1 = 1, 0, 0, 1
+    while r1 != 0:
+        ## Вычисление коэффициентов
+        q = r0 // r1
+        x0, x1 = x1, x0 - q * x1 # Присваивания происходят одновременно
+        y0, y1 = y1, y0 - q * y1 # Присваивания происходят одновременно
+        ##
+        r1, r0 = r0 % r1, r1 # НОД вычисляется на этой строчке (см. утв. из обычного алг. Евклида)
+
+        if r1 > r0 >> 2:
+            r1 = r0 - r1
+            x1 = x0 - x1
+            y1 = y0 - y1
+
+        # Инвариант который поддерживается на каждой итерации
+        print(f'{x0}*{a}+{y0}*{b}={r0}')
+    return x0, y0, r0
+
+
+